三重県伊勢市桜木町で英語,数学,国語,理科,社会の主要5科目の学力を向上させ 志望する高校へ入学するための水谷塾

　

今回は数学そのものというより、数学教育について考えたいと思います。

　　野球は小学生の頃から好きで見ていますが、スピードガンが登場しだして間もない頃、巨人のエースだった江川や西本でも140kmそこそこの球速で、結構早いなと思ったものです。今では高校生でもこの程度のスピードを投げる人はざらにいます。ついこの間、夏の高校野球選手権大会の予選で160kmを記録した高校生がいました。
　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　高校時代の江川…この頃が一番速いと言われましたね。　

　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　西本聖…雑草から這い上がったエース




　無論、昔でも150km台のストレートを投げていた投手もいましたが、明らかに現在のほうが球速の速いピッチャーは多いようです。

　スポーツは現在のレベルが一番高いのではないでしょうか。体操の鉄棒など昔ムーンサルトが初めて登場してから考えても信じられない技で競い合っているではありませんか。
　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　内村航平の鉄棒…人間業ではないですね。

　教育の世界でも実はかなりの進歩が見られます。数学の本など私が高校生の頃に比べるとものすごく分かり易く、しかもレベルに応じていろいろな種類の参考書や問題集があります。

　またただ単に本を読むというだけではなく、ネットを通じての講義、DVDなども充実しています。わからない点はネット上で質問もできます。

　進歩はいつも、予備校などの激烈な競争にさらされている教育機関から生まれています。競争のないところでは、進歩のスピードは遅いように思われます。皮肉なようですが、大学受験に失敗した生徒たちは真剣に勉強します。その人たちを教える教師は教えることに情熱を注ぎます。応えてくれる人たちがいる訳ですから。

　教えるほうも、教えられるほうも厳しい競争にさらされていますからそこから進化した教え方が生まれるということなのでしょう。

　私などから見ればうらやましくてたまらない現在の教育環境なのですが、生徒の数学力の低下が叫ばれています。

　ゆとり教育が犯人のように言う論調が多いのですが、果たしてそれだけでしょうか。これはつまり教育に関する情報が多すぎて、たとえて言えば食べるものがたくさんあり、どれを食べたらよいかわからない飽食の悩みという側面も無視できません。




　たくさんの食べ物があるから、ちょっと食べてはこれより旨いものがあるのでないかと目移りして、いろいろなものを食べようとします。でもどれも完全に満足するものはない。

　私どものように多少なりとも飢えていた時代ではなさそうです。私が現在をうらやましいと思うほど、生徒たちは現在が恵まれているなどとは思えないのでしょう。

　保護者の方も、どの塾が良いのだろうとか、どの本が良いのだろうとか、熱心な人ほどかけずり回ります。

　＜この先少し「数学に感動する頭を作る」（栗田哲也）から引用します。＞


　中学から高校にかけてやらなければならない数学の量はたかが知れたものです。たくさんの情報を集めて、それで数学ができるようになるというものではありません。



　
　むしろ、数少ない素材をうまく組み合わせる方法を知っている人が数学のできる人なのです。

　ですから、何百という公式や定理を覚えるよりも（つまり情報をたくさん得ることよりも）、少しの公式をどうやって使うか深く考えたほうができるようになるのが数学です。




　
　もちろん数学という学問も日進月歩していますが、こと高校までの教育数学に関する限り、昔のカリキュラムで学んでも、今のカリキュラムで学んでも、大差ありません。　　…引用終わり

　参考書などはこれが自分に合っていると思えば、それをやり抜くことです。また塾なども同じです。信用できると思ったら、とことん信用してください。疑問があったらすぐ相談することです。

　どうもこの国の教育は極端から極端に走るような気がしてなりません。教育そのものは必ず進化しているはずですから、腰を落ち着けて勉強することです。特に数学などの理科系の勉強にはそれが必要です。



　
　実は今回は前回の最後に少し述べた戦後の平等教育と数学について考えるつもりだったのですが、これはまたあとにします。

  　毎日コツコツと勉強すれば、必ず少しずつ学力はついてくる。継続して努力していれば必ずその努力は報われる。というのが勉強に対して普通の人が持つ信仰ですが、数学の場合、そうとばかりは言えないようです。

　うすうす感じてはいましたが、やはりそういうことはあるようです。「数学に感動する頭を作る」（栗田哲也）の本の中での指摘です。下にあげた２つの達成曲線のグラフを見てください。（一部引用）

              

    
                        
                             

    上の２つのグラフは横軸に勉強量、縦軸が達成度（学力）を表しています。
このグラフからわかることは、英語は勉強量と達成度はほぼ比例しています。つまり毎日コツコツ学習すれば、昨日よりは今日、今日よりは明日と着実に学力はつくということです。

　しかし、数学は初めいくら勉強しても、達成度は地を這っています。ところがあるとき学力は急激に伸び始めます。この時期は面白いように学力が伸び、生徒も数学が面白いと感じる時期です。　ところが、しばらくすると、また急に伸びは止まり、再び学力は地を這い始めます。生徒にとっては苦痛なこの時期を何とか乗り切ると、また学力は急に伸び始めます。以下はその繰り返しです。

　これは数学を学習する全ての人に起こる事ではありません。

　同じ事を教えてもすぐ「わかった。わかった。」と言う生徒がいます。実際類題もできるのでわかっているようなのです。
　　　　　　　　　　　　

　
　これに対して、非常に慎重な子もいます。「わかったか。」と聞くと、首を縦には振らないのですが、類題をだすとちゃんと解くのです。
  なんだ、わかっているじゃないかと言うと、「問題は解けてもわかったような気はしない。」と言います。

　この子は、個々の事項は理解したが、その事項と他の事項とのつながりはわかっていない状態、つまり前に言った“理解が構造化されていない”段階でしょう。

　もうおわかりでしょうが、後者の子のほうが、数学が本当によくできるようになる可能性を秘めた子です。彼が納得した後はもう誰も追いつけないほどの伸びを示します。

　ただ問題は、彼は成績が地を這っているとき、その苦しさに耐えかね、自分は頭が悪いのだと真剣に悩んでしまいます。周りの人はどんどん先に行ってしまい、取り残された気になるのです。先生もわかってはくれず、ただ理解の悪いやつだと思われるだけで、彼は一人寂しく数学から離れていくのです。

　私が数学が本当によくできるようになる可能性を秘めた子であったという様なことを申し上げる気は毛頭ないのですが、高校時代に、全く同じ様な経験をしているものですから、この話は非常によくわかるような気がしました。


　高校１年の頃、数学を勉強するたび良く解らないことが出てきた私はよく質問しました。職員室に入って、質問するのは、かなり勇気もいりました。あるとき、定数と変数の区別がイマイチよくできていなかった私はその質問をすると「全然違うじゃないか。」と門前払い的な解答をされたのです。それ以来質問はできなくなってしまいました。



今考えてみれば、確かに全然違うもので、質問するのもどうか、的なのもよくわかるのですが、当時の先生方はティーチングマシーンみたいな人が多く、この問題はこう解く、これはこうだ、みたいなことで、今この生徒がどういう段階か、など考えている余裕はなかったように思われます。

　勉強が続けられるというのは、ある意味精神的な問題なのではないでしょうか。あのとき良く解らないからといって無理矢理結論をつけようとしたり、考えるのをやめてしまうのではなく、わからない事はわからないということで頭の中でその問題を暖めておく、考えることを楽しむ。構造化されていないということで、個々の事柄が全くできない訳ではないので、とにかく次に進む。というような精神状態になっていれば、随分違ったような気がします。

　ただ現在私は中学生を中心として教えている訳ですが、中学ぐらいでは数学の世界は、それほど構造的に複雑ではないように思います。図形のところが厄介ですが、これは構造化した記憶が大切ということよりは、図形をイメージする力が重要でしょう。（詳しくはまた機会があれば書きたいと思います。）何にしろ、数学にはいろいろな能力が必要なようです。

　それともう一つ、戦後の平等教育は数学にもその影響を及ぼしているのですが、その話はまた次回にすることにします。

 今回は、前回「鶴亀算」と「差集め算」が同じに見えない人は同じに見えるまで寝かせておき、解るまで暇さえあれば考えましょう。と言う話をしましたがそもそも数学の問題が解るとはどういうことなのでしょう。

　何年も教えているとこの子は解っているようだが、この子は解っていないな。というのはだいたい区別できます。ただその判別を言葉で言い表したり、説明するのは至難の業です。

　数学の専門家（正確には数学を教えている専門家）がこのような事に言及している書物はないものかとずっと思っていましたが、先日紹介した「数学に感動する頭を作る」（栗田哲也）という本にそのことが書かれていました。

　言葉にはできないが、自分で経験して何となく見えてきているものを、このような専門家や作家の皆さんは実に的確に言葉にして表してくれる事がよくあります。

　一言で言えば、「（数学の問題などが）解る。」とは「ピンとくる」という事です。私も生徒に教えていて、その子がＡ→Ｂになるのは解る。Ｂ→Ｃも解る。じゃＡ→Ｃなのも解るでしょう。と言うと「解るような気もするが、よく解らない。」というような事をそれこそ数限りなく経験してきました。

　どうもそれは「ピンときていない」らしいのです。「ピンとくる。」というのは、栗田氏によると「わかるとは、自分が抱いている世界の中に、きちんと（ピンと）未知事項を位置づける能力」のこと。つまり「ああ、あれと同じことなんだ、いつかやったことのあるあれと同類だ。ちょっとの違いはあるけど大筋はあのイメージだな。」そんな風にして人は理解する、という事です。

　例えば、（分かり易くするためにものすごく簡単な例を使いますが）生徒たちはよく答えが分数にしかならない問題があるとすると、「先生、これおかしい。」と言います。「どこがおかしい。」と聞くと「割り切れへん。」「当たり前だ。分数になるからな。」「あっ、それでもいいんや。」

　これはこの生徒の世界の中には分数がまだ位置づけられていないという事なのでしょう。「各個人が持っている数学の世界」がわかる、わからないを決めてしまうという事です。

　この数学の世界は、絶えず磨いていないと、段々汚れてくるということです。またわかりにくくてごめんなさい。私なりに解釈すると、今習ったことは前に習ったことと、どこが同じなのか、またこれにより前との関連がどうで、どう発展したのかなどを絶えず意識していないと今やっている事がわからなくなる。ということでしょう。
             　　
　　　　　
　　　　　数学のノーベル賞といわれるフィールズ賞メダルです。

 　カミングアウトすれば、私の持っている数学の世界も貧弱なものです。高校の時、ベクトル（前回にも少し言葉は出ましたね。）を習うのですが、「ベクトルって何だ、なんであんなものが要るんだ。」と言われたら…。私の持っている数学世界では何も言えません。

　私の数学世界は高校時代の途中で汚れてしまったのでしょう。前に高校生を教えていた頃、少しベクトルのイメージらしきものが、できかけたような気もするのですが、この子が大学に合格した時点で終わってしまったようです。まして高校時代にはまったくそのようなもののかけらもありませんでした。

　寝かせておくということは、栗田氏の言葉を借りれば「絶えず磨く。」と言うことです。暇さえあれば考えていなければならない。そうでなければ数学のおもしろさは味わえないのかも知れません。

　このように絶えず数学の世界を磨いてきた人は、数学を「構造化して記憶する。」事ができるようになるようです。

また訳がわからないでしょうが、図で説明します。（上記の本からの引用）
　　　　　　　　　

　　　
　上下２つの図を示しましたが、上側のほうの図も下側のほうの図も、大きな四角形は、記憶する頭を表しています。

　上側のほうの人から見ていくと、頭の中には小さな四角、つまり覚えたことがいくつも並列して並んでいます。

　これに対して、下側のほうの人の頭の中には、まず、矢印で示したように、ある事項は別の事項よりも上位概念であるとか、ある事項とある事項は対立概念であるとかいうように、覚えた事柄が、単に並列しているだけでなくて、階層構造をなしていたり、対立概念としての構造をなしていたりします。

　この２つの頭の働きには、雲泥の差があります。

　つまり、上側のほうの人は、数学の問題を解く場合に、何百個もある記憶の四角の中から適切にいくつかの記憶を取り出さなければなりませんが、これは大変なことです。いわばこれは、使えない記憶で、せっかくたくさんのことを覚えても、これらは使えないゴミの山になってしまいます。

　それに対して下側のほうの人は、一つの記憶を取り出したら、それと似た記憶や、対立する記憶を芋づる式にどんどんと取り出すことができます。これは使える記憶で応用が利くのです。（引用終わり）

　解るということ、またそれを極めていくと、構造化して記憶できる頭になることもできそうだ。（普通に毎日コツコツやってればできるというものではなさそうですが。…）ということが少し理解できるような気がしませんか。

ここから派生する数学の勉強はどんなもので、勉強に対するある信仰が数学ではどうも通用しないらしいという事もわかってくるのですがそれはまた次回にします。

 
  数学について

　数学を勉強するとき、真面目な子ほど今から言うやってはならない学習法にはまりやすい。それは何か、というのが今回のテーマです。

例えば、中学受験でおなじみの鶴亀算

　　問題　鶴と亀が合わせて10匹いて、足の数は全部で26本です。では、鶴は何匹、亀は何匹いるのでしょうか。
　　　　　　　　　　　

　　  解説①もしも全部鶴だったら、足の数は、2×10で20本。
　　　　②ところが、足の数は26本なのだから食い違いは6本
　　　　③全部鶴から鶴と亀を１匹交換するごとに足の数は2本増える。
　　　　④6本の食い違いをカバーするためには、6÷2＝3で3匹を交換すればよい。
　　　　⑤よって亀は3匹。鶴は残りの7匹。
　　　　　　　

次は差集め算と呼ばれる問題です。

　　 問題　ある人がコップを運ぶアルバイトをしました。１つ運ぶと15円もらえるのですが、１つ壊すと逆に10円の損料を支払わなければなりません。全部で50個頼まれて、結局彼がもらった額は500円でした。この人は何個のコップを壊したのですか。

解説①もしも１つも壊さなかったら、いくらもらえていたかというと、50×15＝750円。
　　②実際にもらった額の500円とは250円の食い違いがある。
　　③全部壊さなかった場合と、１つのコップを壊した場合とを比べると、25円の食い違いがある。
　　④結局１つ壊すごとに25円損していく訳だから、250÷25＝10で10個のコップを壊したという事になる。

　この２つの問題が同じに見える子は、覚えることが一つで済むし、一見違って見える二つの問題に実は同じ様な抽象的な構造が存在することを理解していることになります。
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　これらの例はこの本からです。

　これが違う問題に見える子は、問題のパターンを二つ暗記しなければならず、これから先、彼（彼女）は膨大な量の問題のパターンを暗記していかなければなりません。

　分かり易いように、簡単な例を出しましたが、このようなことは数学を教えるに当たって、頻繁に起こることです。苦手な子ほど覚えることを山ほど増やそうとしてしまいます。問題を解くとき、これはどれだったのか、と考えて、訳がわからなくなるようです。

同じ様な構造をした問題が同じに見えないため、ものすごい苦労をしている子がたくさんいます。
もし同じにどうしても見えない場合は、そのままにしておきましょう。

　無責任なようですが、無理に覚え込めば、混乱しかえって数学が嫌いになるばかりです。それよりこの二つの問題は同じらしいが、何故だろう。と考える材料を頭の中に暖めておき、同じに見えるまで暇さえあれば考えてみることです。間違っても、妙な結論をつけてはいけません。

　そして一晩寝てしまうのです。何日か後に、頭のほうが勝手に問題を整理して、何となく解るということがよくあります。

　このわからない事を頭の中で暖めておく、寝かしておく、という感覚は非常に大切です。私はこれが高校時代苦痛でたまらず、数学の勉強をやめてしまおうと思い、数学を勉強しなくなりました。

　わからないことを楽しむ。この精神状態が貴重なのです。

　後に私は小学校や中学生の時から教えていた子が高校生になったとき、どうしても数学を教えてほしいと言われ、数Ⅲまで教える羽目になりましたが、（これがいかに無謀なことか、私は文系で大学に進み、数Ⅲはほとんどやっていなかったのですから。）その時も同じ事が起こりました。

　しかし、今度は頭の中にあるわからない事を楽しむ事ができたのです。すると大変なのですが、結構おもしろく、楽しんで数学を教える（というか一緒に考える。）事ができたのです。彼女は国立大学の工学部に現役で合格しました。

　とにかく、問題の類似に常に注意を払うようにしていれば、覚える事は少なくて済みます。それだけではなく、似たような問題や、一つの問題がどのように発展していくかまで、ストーリーとして考えられるようになります。

　もう一つ例を挙げましょう。中１のとき比例を習いますね。中２では一次関数を習うのですが、これを別々に考えてはいませんか。一次関数でｙ切片が０になるのが比例でしょう。こう考えると比例は一次関数の中に含まれてしまいます。だったら比例の事はもう忘れても良いでしょう。

　数学は勉強すればするほど上記のような事が増え、おもしろいと思えるものなのです。高校でベクトルというものを習うと、あれほど頭を悩ました図形の問題が簡単に解けたり、数値化できたりして感心します。

　我慢して学習していくと、きっと新しい世界が広がってきます。数学が世の中に不要だなどというのはとんでもない話です。少しでもその構造を理解できるよう楽しみながら、勉強してみましょう。

　つれづれなるままに　序段

つれづれなるまゝに、日くらし、硯(スズリ)にむかひて、心に移りゆくよしなし事(ゴト)を、そこはかとなく書きつくれば、あやしうこそものぐるほしけれ。

　　　　　　　　　

　　
現代語訳
　ひとりで手持ちぶさたなのに任せて、一日中、硯を前にして、心に映っては消え、映っては消えるつまらないことを、とりとめもなく書きつけると、妙に気ちがいじみた心地がする。

　いきなり徒然草ですが、この前の求心力と遠心力みたいに、とにかく日頃時々考えることをそれこそとりとめもなく書きつけようと思います。

　高校生のころ、初めて徒然草に接したときは、「なんておじさんくさい文だ。」と思い、枕草子は「偉そうな女だな。」と感じ、源氏物語は「こんな難しいものを何で読まなければならないんだ。」とプチ切れした覚えがあります。

　時を経て、徒然草などには共感できる部分があるように思えて、これはある程度の年齢にならないと解らないということを実感しています。

ウサギとカメとプラスアルファ。
　　　　　　　　　　


　
　生徒の中には理解力は良くないのだが、真面目な生徒がいる。このような人は自分は理解力が不足している、ということを自覚しているので、家でよく復習してくる。これが段々積み重なって半年、一年も経つと徐々に実力をつけてくる。

　また非常に理解力があり、仕事も速いが学習はいい加減である生徒もいる。宿題はしてくるが、それほど時間はかけてはいない。でもテストはよくできる。定期テストの点数も良い。当然先ほど例に挙げた子よりも、実力はある。

　さてこの文脈では、前者がカメで、後者はウサギで、ウサギは昼寝をしてカメより遅れてしまう。つまり、成績も抜かれてしまう、と言いたいのだろう。となりそうだが、事はそれほど単純ではない。

　例に挙げたウサギは、定期テストの時などは頑張るのだ。実力ではカメが勝てることは難しい。ただし、入試においては、ウサギは実力が発揮できないことがよくある。

　それほど根拠がある訳でもなく、経験での物言いしかできないのだが、カメタイプの子は塾に来ても、靴をきちんとそろえて脱ぐし、スリッパも元の状態に戻しておく。自転車もきちんと止める。つまり、他の人のことを自然と考えて行動できる事が多い。ウサギタイプの子でこれができる人はまずいない。　

　テレビの高校生レストランで有名になった相可高校の食物調理科を見学させてもらったことがあるのだが、生徒の動きに鳥肌が立つぐらい感動したことがある。整然と無駄なく動いているのだが、動きに他の人のことまで配慮したものがあり、見ていて暖かいものを感じたのだ。

　カメタイプの人も同じだ。例によってみんながみんなという訳ではない。むしろカメタイプの人でもこんな人は少ない方だが、カメタイプの人だけがこのような行動ができる。

　入試というのは、生徒が考えているより厳しいものだ。

　カメタイプの人は自分の解ける問題は着実に解けるのではないだろうか。わからない問題があっても焦らない。自分をよくわきまえていて、普段と変わらない力が出る。

　ウサギタイプの人は自信を持って臨んだのに、わからない問題がたくさんあるとパニックに陥りやすく、実力を発揮できないのではないか。言い方はきついが普段から傲慢な勉強をしているからなのではないだろうか。

　みんながカメタイプになれ！と言いたいのではない。塾にはウサギタイプの人が必要である。みんなを引っ張っていけるのは、ウサギタイプで、かつ、やるときはやるという人なのだ。競争心を露骨に表し、生徒たちに波紋をもたらす。これが刺激となり、塾内が活性化することが多い。

　自分の性格をよく見極めて、カメタイプは少しだけウサギの積極さを見習い、ウサギタイプはカメタイプの謙虚さをちょっとだけ身につけてほしい。このプラスアルファが大事である。(特にウサギタイプには。)